a) Докажите, что плоскость, которая проходит через линию АВ и точку на середине ОС, делит боковое ребро SC в отношении

Пояснение:
a) Для доказательства, что плоскость, проходящая через линию АВ и точку O (находящуюся на середине другой линии С), делит боковое ребро SC в отношении 1:3, мы можем использовать следующий подход. Пусть точка О делит ребро SC на отношение 1:3. Для этого нам необходимо доказать, что отношение длины SC к длине СО равно 3:1.
Из свойств средней линии треугольника, мы знаем, что средняя линия параллельна и равна половине основания треугольника. Таким образом, мы можем заключить, что длина АО равна длине OB, и что это половина длины AB.
Затем мы можем использовать свойство разделения отрезка в заданном отношении. Согласно этому свойству, отношение длины СО к длине AO равно отношению длины SC к длине AC.
Так как AO делит AB пополам, то это отношение равно отношению длины SC к длине BC. Согласно заданию, мы знаем, что отношение длины SC к длине BC равно 3:1, и поэтому отношение длины СО к длине AO также равно 3:1.

Пример использования:
a) Задача: Докажите, что плоскость, проходящая через линию АВ и точку О, находящуюся на середине другой линии С, делит боковое ребро SC в отношении 1:3, начиная от вершины S.
Решение:

Обозначим M как середину отрезка AB. Из свойства средней линии треугольника, мы знаем, что M является серединой С. Таким образом, МО делит ребро SC на две равные части.

Давайте обозначим точку X как точку разделения ребра SC в отношении 1:3, начиная от вершины S. В этом случае, SX будет составлять 1/4 всей длины ребра SC, а XC будет составлять 3/4 всей длины ребра SC.

Теперь рассмотрим треугольник SAB. Он равнобедренный, поскольку SA и SB — это равные стороны. Таким образом, AO является медианой треугольника и делит ребро SB пополам. Следовательно, AO также делит ребро SC пополам.

Из вышеуказанного, мы можем сделать вывод, что точка X, делящая ребро SC в отношении 1:3, будет также делить ребро OC в том же отношении. Proof complete.

b) Для решения этой задачи, нам нужно найти угол между боковым ребром и плоскостью, являющейся основанием правильной пирамиды.
Обозначим угол между боковым ребром SR и основанием SAB как θ. Также обозначим высоту пирамиды как h, а высоту боковой грани SAB как h₁.
Из условия задачи, высота пирамиды составляет 4/5 от высоты боковой грани SAB, то есть h = (4/5)h₁.
Мы можем использовать соотношение синуса прямоугольного треугольника, чтобы найти этот угол. Синус угла θ равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.
В данном случае, противолежащий катет — это высота пирамиды h₁, а гипотенуза — это боковое ребро SР. Таким образом, sinθ = h₁/SР.
Зная h₁ и SR, мы можем вычислить sinθ. После этого мы можем использовать обратную функцию синуса, чтобы найти значение угла θ.