1) Докажите, что векторы SB-SC равны вектору DA. 2) Найдите все упорядоченные пары вершин параллелепипеда ABCDA1B1C1D1
1) Докажите, что векторы SB-SC равны вектору DA.
2) Найдите все упорядоченные пары вершин параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, которые образуют ненулевые коллинеарные векторы с вектором AC.
3) Найдите вектор, который является суммой векторов AB, B1C1, DD1 и CD в параллелепипеде ABCDA1B1C1D1.
4) Выразите вектор BD через векторы b и c, если AB=b и AC=c, в треугольнике ABC, где точка D находится на стороне BC с отношением BD:DC=1:2.
5) Разложите вектор BD в параллелепипеде ABCDA1B1C1D1.
Детальное объяснение:
Для доказательства равенства векторов SB-SC и вектору DA, нужно сначала запишем определение вектора SB-SC:
SB-SC = SB + (-SC)
Теперь преобразуем SB:
SB = SA + AB
А также преобразуем -SC:
-SC = SC*(-1)
Теперь можно записать:
SB-SC = SA + AB + SC*(-1)
Далее используемо свойство коммутативности сложения векторов и напишем вектор SA в виде AS*(-1):
SB-SC = AS*(-1) + AB + SC*(-1)
Теперь применим свойство ассоциативности сложения векторов и переставим слагаемые:
SB-SC = AS*(-1) + AB + (-SC)
Теперь соберем вектор DA, заменяя AS на AD и меняем знак у векторов AB и SC:
SB-SC = AD + (-AB) + (-SC)
Таким образом, получаем, что SB-SC = DA. Доказано.
Пример использования:
В задаче дано: SB-SC = AD. Найдите SB-SC.
2) Все упорядоченные пары вершин, образующие ненулевые коллинеарные векторы с вектором AC:
Вектор AC равен разности координат двух точек A и C:
AC = C — A
Чтобы найти все упорядоченные пары вершин, образующие ненулевые коллинеарные векторы с вектором AC, нужно рассмотреть каждую вершину параллелепипеда ABCDA1B1C1D1.
Пара вершин образует ненулевой коллинеарный вектор с вектором AC, если вектор, соединяющий эти вершины, пропорционален вектору AC.
Например, для вершины A1:
A1 — A = A1 — A1 = 0, поэтому A1 не образует ненулевой коллинеарный вектор с вектором AC.
Таким образом, упорядоченные пары вершин, которые образуют ненулевые коллинеарные векторы с вектором AC, это:
(ABC), (ABD1), (AB1C1), (AC1D1), (A1BC1), (A1BD1).
Совет:
Для лучшего понимания, нарисуйте параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и отметьте каждую вершину. Затем найдите вектор AC и посмотрите, какие вершины образуют пропорциональные векторы с ним.
Упражнение:
В задаче дано параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Найдите все упорядоченные пары вершин, образующие ненулевые коллинеарные векторы с вектором BD.