Какой угол образуют прямые АВ и CD, если даны координаты точек А(1; 1 ; 5 ), С(8 ; 5 ; 5 ), В(4; 7; 5), D(5;-1 ;5)?
Какой угол образуют прямые АВ и CD, если даны координаты точек А(1; 1 ; 5 ), С(8 ; 5 ; 5 ), В(4; 7; 5), D(5;-1 ;5)?
Пошаговое решение:
Инструкция: Для нахождения угла между двумя прямыми, необходимо использовать векторное произведение этих прямых. Векторное произведение двух векторов даёт новый вектор, перпендикулярный плоскости, образованной этими двумя векторами. Его длина равна произведению длин этих векторов на синус угла между ними.
Для начала, найдем векторы AB и CD. Вектор AB можно получить, вычтя координаты точки B из координат точки A: AB = B — A = (4-1, 7-1, 5-5) = (3, 6, 0). Аналогично, вектор CD можно получить, вычтя координаты точки D из координат точки C: CD = D — C = (5-8, -1-5, 5-5) = (-3, -6, 0).
Затем, возьмем модуль векторного произведения векторов AB и CD: |AB x CD| = |(3, 6, 0) x (-3, -6, 0)|. Подставив значения векторов, получим |AB x CD| = |(0, 0, -36)| = 36.
Зная длины векторов AB и CD по формуле sqrt(x^2 + y^2 + z^2), находим |AB| = sqrt(3^2 + 6^2 + 0^2) = sqrt(45) и |CD| = sqrt((-3)^2 + (-6)^2 + 0^2) = sqrt(45).
Теперь можем найти синус угла между прямыми по формуле sin(угол) = |AB x CD| / (|AB| * |CD|) = 36 / (sqrt(45) * sqrt(45)). Раскрывая корни, получаем sin(угол) = 36 / 45 = 4 / 5.
Для нахождения самого угла между прямыми, можно использовать обратную функцию синуса: угол = arcsin(4/5) ≈ 53.13°.
Таким образом, угол между прямыми АВ и CD составляет примерно 53.13°.
Упражнение: Найдите угол между прямыми, если даны координаты точек A(2; 3; 4), B(1; -1; 2), C(5; -2; 1), D(3; -4; 0).