а) Необходимо доказать, что вершина b₁ лежит на плоскости amn. б) Если параллелепипед прямоугольный и его диагональ bd₁

Объяснение:
а) Чтобы доказать, что вершина b₁ лежит на плоскости amn, мы можем воспользоваться тем фактом, что плоскость amn образуется точками a, m и n. Для этого нам нужно убедиться, что вектор b₁a лежит в этой плоскости. Для этого мы можем проверить, что векторы b₁a и b₁m лежат в той же плоскости. Если оба этих вектора лежат в плоскости amn, то и сама вершина b₁ будет лежать на этой плоскости.

б) Чтобы найти угол между плоскостями amn и a₁b₁c₁, мы можем воспользоваться формулой для вычисления угла между двумя плоскостями. Эта формула гласит, что cos(угол) = (нормальный вектор первой плоскости • нормальный вектор второй плоскости) / (длина нормального вектора первой плоскости * длина нормального вектора второй плоскости). Мы можем найти нормальные векторы плоскостей amn и a₁b₁c₁, и подставить их в эту формулу, чтобы получить значение угла.

Пример использования:
а) Чтобы доказать, что вершина b₁ лежит на плоскости amn, нам нужно проверить, что векторы b₁a и b₁m лежат в этой плоскости. Мы можем найти координаты векторов и проверить их. Например, если координаты точек a, m, n и b₁ следующие: a(1, 2, 3), m(4, 5, 6), n(7, 8, 9), b₁(10, 11, 12), то вектор b₁a = (10-1, 11-2, 12-3) = (9, 9, 9) и вектор b₁m = (10-4, 11-5, 12-6) = (6, 6, 6). Оба этих вектора имеют одинаковые координаты, поэтому они лежат в плоскости amn, и вершина b₁ лежит на этой плоскости.

б) Чтобы найти угол между плоскостями amn и a₁b₁c₁, мы можем сначала найти нормальные векторы этих плоскостей. Нормальный вектор плоскости amn можно найти, например, из двух векторных произведений a₁m и a₁n. Затем, чтобы найти нормальный вектор плоскости a₁b₁c₁, мы можем использовать два векторных произведения: a₁b₁ и a₁c₁. Подставив найденные нормальные векторы в формулу для вычисления угла между плоскостями, мы можем получить значение угла.

Совет: Чтобы лучше понять геометрию в трехмерном пространстве, полезно представить себе трехмерные фигуры на пространственной модели или использовать программы компьютерной графики, которые позволяют визуализировать трехмерные объекты.

Упражнение: В трехмерном пространстве даны точки a(1, 2, 3), b(4, 5, 6), c(7, 8, 9) и d(10, 11, 12). Найдите нормальный вектор плоскости amn и нормальный вектор плоскости a₁b₁c₁. Определите угол между этими плоскостями.