Сколько чисел от 1 до 500 (включительно) могут быть представлены в виде [2x] + [4x] + [6x] + [8x] с положительным x?

Объяснение: Для решения данной задачи нам нужно определить, сколько чисел от 1 до 500 могут быть представлены в виде [2x] + [4x] + [6x] + [8x], где [a] — это целая часть числа a.

Давайте рассмотрим каждое слагаемое отдельно. Первое слагаемое [2x] представляет собой наибольшее четное число, которое не превышает 2x. Следующие слагаемые [4x], [6x] и [8x] имеют аналогичные значения — наибольшее кратное 4, 6 и 8, которое не превышает соответствующее значение.

Мы можем начать с наименьшего значения x, равного 1, и последовательно увеличивать его до тех пор, пока значение полученного выражения не превысит 500. Каждый раз, когда мы увеличиваем x, мы находим новое значение суммы и проверяем, не превышает ли оно 500. Когда оно превышает 500, мы знаем, что последнее значение x было наибольшим возможным, а предыдущее значение x было искомым числом.

Пример использования: При x = 30, получим [2x] + [4x] + [6x] + [8x] = [2*30] + [4*30] + [6*30] + [8*30] = 60 + 120 + 180 + 240 = 600, что больше, чем 500. Поэтому искомое число равно 29.

Совет: Для более быстрого и удобного решения подобных задач можно воспользоваться арифметической последовательностью. Мы видим, что каждое слагаемое — это кратное числа x. Поэтому можно представить данную задачу как сумму арифметической прогрессии, где первый элемент — это [2x], разность — это 2x — [2x], и сумма представляет собой [2x] + [4x] + [6x] + [8x]. В таком случае, мы можем найти количество членов последовательности, используя формулу n = (последний член — первый член)/разность + 1.

Упражнение: Сколько чисел от 1 до 1000 (включительно) могут быть представлены в виде [5x] + [10x] + [15x] + [20x]?